sexta-feira, 5 de agosto de 2016

Teoria da Percolação é tema de Doutorado defendido por Professor do IF/SPP.




O professor de Matemática Daniel Ecco do IFRN/SPP defendeu nesta última sexta-feira, 29/07/2016, no departamento de Física da UFRN, seu Doutorado em Ciência e Engenharia de Petróleo (PPGCEP).
As pesquisas tiveram foco no desenvolvimento de um algoritmo para se estudar propriedades críticas no problema de percolação em redes bidimensionais e tiveram orientações dos professores Luciano Rodrigues da Silva, do Departamento de Física e Joaquim Elias de Freitas, do Departamento de Matemática.
Imagine um bêbado, ao sair de um bar para sua casa caminhando: no outro dia nem lembrará como chegou em casa, mas eles sempre (ou quase sempre) chegam. Seu andar foi totalmente diferente se não tivesse bebido. Foi “cambaleando” numa caminhada aleatória, mas chegou. Conseguiu fazer uma ligação do bar até sua casa.
Agora imaginemos uma floresta entre duas rodovias paralelas: às margens de uma das rodovias inicia-se um incêndio e com a “ajuda” dos ventos ocorre a propagação do fogo em direção a outra rodovia. Quando as chamas atingirem a rodovia no outro lado da mata, quanto da floresta já foi queimada?
          

 



  Agora olhemos para o “labirinto” 10 x 10 abaixo. E imaginemos uma criança no “corredor” de sítios cinza fora do “labirinto”.


As cores indicam sítios conectados desse labirinto. Veja que esta criança só conseguirá chegar ao lado oposto do labirinto se entrar em algum dos três sítios azuis vizinhos ao corredor cinza. Esta rede 10 x 10 foi pintada de forma aleatória e só houve conexão entre lados opostos da rede depois de uma certa quantia de sítios pintados. Neste caso, foi necessário pintar 60% da rede, ou seja, 60 sítios e os sítios azuis conectados chamamos de aglomerado percolante.
A teoria matemática que estuda todos estes exemplos é a Teoria da Percolação. É um ramo da teoria da probabilidade que lida com as propriedades de um sistema aleatório. Outros exemplos que se estuda a percolação são: estudos da condução elétrica de rede de resistores, na formação de cadeias poliméricas, na passagem de corrente elétrica em cristais semicondutores, epidemias, onde cada sítio representa uma pessoa que tem uma probabilidade p de ser infectada e em outras tantas áreas como hidrologia, matemática fractal, física de indução magnética e transição de fases condutor/isolante.
Um reservatório de petróleo não é como muitos imaginam: um tanque cheio de óleo que basta chegar, perfurar e “deixar sair” o que está lá.
Os reservatórios de petróleo são rochas porosas ou fraturadas, normalmente sedimentares, cujo processo deposicional induziu heterogeneidades e com características de um fractal. Essas heterogeneidades são, em grande parte, responsáveis pela baixa taxa de extração do óleo já que dificultam o deslocamento do hidrocarboneto através do meio poroso, deixando grandes quantidades bloqueadas ou seladas dentro da rocha. Quando, após o início da exploração da jazida, a pressão natural do reservatório diminui, recorre-se aos métodos de recuperação secundária.
Quando um campo de petróleo é descoberto, o primeiro passo dado pela indústria é estimar o volume dos hidrocarbonetos (gás, petróleo) no reservatório e avaliar o quanto pode ser recuperado, observando se vale a pena investir na recuperação. Na maioria dos casos, a produção se faz por meio da perfuração de dois tipos de poços: injetores e produtores. Nos primeiros injeta-se algum fluido, como água ou gás, que empurre o petróleo na direção dos poços produtores. Para otimizar a recuperação, se faz necessário escolher a melhor disposição desses poços e determinar a estratégia ótima de injeção.
Lembram do labirinto anterior? Pois bem, fazendo uma analogia, cada sítio colorido do labirinto representa um poro com óleo dentro. Temos várias regiões diferentes com óleo, mas muitas não estão conectadas. Os poços injetores e produtores devem estar em sítios de um mesmo aglomerado para eu haja conexão entre eles. No labirinto anterior, para a melhor recuperação de óleo em lados opostos no aglomerado de sítios azuis.
É preciso estimar corretamente o fluxo de petróleo, gás e água no meio poroso que é o reservatório e suas vazões nos poços produtores. Tais estimativas são baseadas em modelos físicos e métodos de simulação cada vez mais sofisticados. Torna-se necessária a construção destes modelos matemáticos para se fazer o estudo de determinadas simulações. Estes modelos matemáticos, para representar as conectividades e transportes em sistemas heterogêneos e geometricamente complexos, são obtidos através da teoria da percolação.
O trabalho mostra fundamentos importantes de Matemática, Física, Estatística e Computação na Engenharia de Petróleo, bem como estes assuntos se revelam importantes para os estudos de otimização na recuperação de petróleo. O contexto principal se caracterizou pela busca do desenvolvimento de um algoritmo para entender como os modelos geológicos estão definindo as conectividades de suas células. Desta forma tornou-se necessário o desenvolvimento de métodos rápidos de modelagem através do estudo do limiar de percolação e da dimensão fractal da fronteira do aglomerado percolante.
Através desses estudos foi determinado se uma rede bidimensional percola, percorrendo apenas parte das fronteiras dos aglomerados, verificando se existem dois sítios da fronteira conectados em lados opostos da rede, isto é, sem a necessidade de preencher todos os sítios que formam os aglomerados. Percorrendo apenas parte das fronteiras dos aglomerados, foi possível estudar redes de tamanhos jamais alcançados (superiores a um trilhão de sítios), com complexidade menor que 1 e um baixo custo computacional em relação aos algoritmos já desenvolvidos sobre o tema percolação. Estudou-se o comportamento do limiar de percolação e da dimensão fractal da fronteira em redes dos mais diversos tamanhos e com uma grande quantidade de simulações, as quais os resultados permitiram fazer comparações e confirmar as previsões feitas através de leis de escalas já conhecidas na literatura.
Destaca-se que ao calcular as dimensões fractais das fronteiras e relacionar com a probabilidade de ocupação, verificou-se que o máximo dessa curva corresponde a probabilidade crítica, sugerindo que seja a definição precisa do limiar de percolação.
A equipe de trabalho já tem sugestões para trabalhos futuros a serem implementadas neste software como:
- Expandir o estudo da dimensão fractal para todo o aglomerado, inclusive para seus espaços vazios.
- Estudar outros tipos de rede bidimensionais por sítios e por ligações, como a triangular, hexagonal e Bethe, além de dar um "upgrade" para tratar redes 3-D.
Em breve, todo esse material estará disponível para consulta.

"Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos, 
o som do latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta."

(Benoît Mandelbrot, em seu livro " The Fractal Geometry of Nature “ 1983)

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